Задания на системы счисления
1. Определить в какой системе счисления ведется рассказ:
«Необыкновенная девочка»
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все сейчас обычным,
Когда поймете мой рассказ
(А.Н. Стариков)
Решение:
Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10,100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим:
«Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 .23 + 1 . 22 = 8 + 4 = 12 лет
«Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 .22 + 1 = 4 + 1 = 5 класс
«…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги
«С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 20 = 1, 100 = 22 = 4 ноги
и т.д. разобранное число 10.
Ответ: двоичная с/с.
2. «Какое наименьшее число гирь потребуется для взвешивания любого предмета, масса которого равна целому числу фунтов от 1 до40. Гири разрешено складывать на одну чашу весов».
Решение:
Любое натуральное число от 1 до 63 можно записать при помощи 6 знаков в двоичной системе счисления. Массе гирьки соответствует позиционный вес цифры в двоичном числе. (1 – гирька используется, 0– нет).
Ответ. Гирьки выбираются массой: 1, 2, 4, 8, 16, 32 грамма.
3. «Отгадывая целое число, задуманное в промежутке от 1 до 100 можно задавать вопросы, на которые получаете ответы «да» или «нет». Сколько вопросов минимально необходимо задать, чтобы отгадать это число»
Решение:
Поскольку дана возможность использовать ответы «да» или «нет», то логично предположить, что для кодирования можно использовать двоичную систему счисления. Любое натуральное число от 1до 100 можно записать при помощи 7 знаков в двоичной системе счисления.
Ответ. Минимально достаточно задать 7вопросов.
4. «В саду росло 63q фруктовых деревьев, из них 30q яблони, 21q груши, 5q сливы, 4q вишни. В какой системе счисления ведется счет, и сколько было деревьев?»
Решение:
63q = 30q + 21q + 5q + 4q
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах счисления
6q + 3 = 3q + 2q + 1 + 5 + 4
q = 7
всего деревьев – 6 . 7 + 3 = 45
яблонь – 3 . 7 = 21
груши – 2 . 7 + 1 = 15
слив – 5
вишен – 4
Ответ. Система счисления – семеричная, яблонь – 21, груш – 15, слив – 5, вишен – 4, всего – 45.
5. «В классе 36q учеников, из них 21q девочка и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся отсчет?»
Решение:
36q = 21q + 15q
Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах 3q + 6 = 2q + 1 + q + 5
Как видно, оно не имеет однозначного математического решения, логически подбираем корни уравнения
-
Основание системы счисления не может быть меньше 6 (т.к. при записи чисел используется цифра 6)
-
Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7 + 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство выполняется, это решение верно.
-
Аналогично можно рассуждать для любой системы счисления, основание которой больше 7 .
Ответ: q > 7.
6. «Один мудрец писал «мне 33 года. Моей матери 124 года, а отцу 131 год. Вместе нам 343 года». Какую систему счисления использовал мудрец, и сколько ему лет».
Решение:
33х + 124х + 131х = 343х
3х + 3 + х2 + 2х + 4 + х2 +3х + 1 = 3х2 + 4х + 3
х2 – 4х – 5 = 0
х1 = 5, х2 = – 1 (не является решением)
Ответ: 335 = 18, 1245 = 39, 1315 = 41,3435 = 98
7. «Один человек имел 100 монет. Он поровну разделил их между двумя своими детьми. Каждому досталось по 11 монет и одна осталась лишней. Какая система счисления использовалась, и сколько было монет?»
Решение:
100х = 11х + 11х + 1
х2 – 2х – 3 = 0
х1 = 3, х2 = – 1 (не является решением)
Ответ: 1003 = 9, 113 = 4.
8. «В пробирку посадили некоторое одноклеточное животное, которое размножается делением пополам каждую секунду. Через 16 секунд пробирка оказалась полной. Определить сколько времени понадобилось, чтобы заполнить половину пробирки. Сколько «жителей» было в пробирке через 7 секунд?»
Решение:
Для заполнения половины пробирки понадобится t– 1 секунда, при условии удвоения особей, то есть15 секунд. Через 7 секунд в пробирке было 27 особей. То есть 128 штук.
Ответ: 15 секунд, 128 штук.
9. «Трехзначное десятичное число начинается с 1, если поменять местами старший и младший разряды, то вновь полученное число будет меньше усемеренного исходного на 48. Найти исходное число».
Решение:
Исходное число – 1XY
Новое число – YX1
Соотношение 7 . (1XY) = YX1 + 48 где X, Y –цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
7 . (102 + X . 101 + Y .100) = Y . 102 + X .101 + 1 . 100 + 4 .101 + 8 . 100
7 . 102 + 7 . X .101 + 7 . Y . 101 – 1 многочлен
Y . 102 + (X + 4) . 101+ (1 + 8) . 100 – 2 многочлен
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты
1)
начиная с младшего разряда 7 . Y = 9+ p . 10, где p
= 0 
6,
это возможно только при Y = 7, p = 4
2) 7 . X + p = X + 4
7 . X + 4 = X + 4
7 . X = X при X = 0
Ответ. Исходное число – 107.
10. «Шестизначное десятичное число начинается слева с 1, если переместить ее в младший разряд, то новое число будет втрое больше исходного. Найти исходное число».
Решение:
Исходное число – 1ABCDE
Новое число – ABCDE1
Соотношение 1ABCDE = ABCDE1 . 3 где A, B, C, D, E – цифры числа
Представляем уравнение в виде разрядных слагаемых:
(1 .
105 + A . 104+ B .
103 + C . 102+ D .
101 + E . 100).
3 = A . 105 + B
.104 + C .
103 + D .102 + E . 101 + 1 .100
если равны многочлены, то равны и соответствующие коэффициенты
1) начиная с младшего разряда
3 . E = 1 + p .
10, где p = 0
2,
в данном случае это возможно только при E = 7, p = 2
2) для разряда десятков
3
. D + p = E + p1 .
10, где p1 = 0
2
3 . D + 2 = 7 + p1 . 10 это возможно только при D = 5 p1 = 1
3) для разряда сотен
3
. C + p1 = D + p2 . 10,
где p2 = 0
2
3 . C + 1 = 5 + p2 . 10 это возможно только при C = 8 p2 = 2
4) для разряда тысяч
3
. B + p2 = C + p3 . 10,
где p3 = 0
2
3 . B + 2 = 8 + p3 . 10 это возможно только при B = 2 p3 = 0
5) для разряда десятков тысяч
3
. A + p3 = B + p4 . 10,
где p4 = 0
2
3 . A + 0 = 2 + p5 . 10 это возможно только при A = 4 p5 = 1
Все логические предположения о пригодности коэффициентов делаются на основании таблицы умножения.
Ответ. Исходное число – 142857.
